如图，在四棱锥$S-ABCD$中，底面$ABCD$为正方形，$\angle ASD=\angle ADS={{45}^{^\circ }},M,N$分别在棱$SB,SC$上，且$A,D,N,M$四点共面$.$

$(1)$证明：$SA\perp MN$；

$(2)$若$SM=BM$，且二面角$S-AD-C$为直二面角，求平面$SCD$与平面$ADNM$夹角的余弦值$.$

$(1)$证明见解析

$(2)$$\\dfrac{1}{2}$

$(1)$

$\because \angle ASD=\angle ADS={{45}^{^\circ }}$，故$\angle SAD={{90}^{^\circ }}$，则$SA\perp AD$，

$\because AD//BC,AD\not\subset $平面$SBC,BC\subset $平面$SBC$，故$AD//$平面$SBC$，

而平面$ADNM\cap $平面$SBC=MN,AD\subset $平面$ADNM$，故$MN//AD$，

则$SA\perp MN$$.$

$(2)$

$\because $ 二面角$S-AD-C$为直二面角，故平面$SAD\perp $平面$ABCD$$.$

而平面$SAD\cap $平面$ABCD=AD,SA\subset $平面$SAD,SA\perp AD$，故$SA\perp $平面$ABCD$，

又底面$ABCD$为正方形，

$\therefore SA\perp AB,SA\perp AD,AB\perp AD$，

以点$A$为坐标原点，$AB,AD,AS$所在直线分别为$x,y,z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系$A-xyz$，

不妨设$AB=2$，则$A\left( 0,0,0 \right),S\left( 0,0,2 \right),C\left( 2,2,0 \right),D\left( 0,2,0 \right),M\left( 1,0,1 \right)$，

故$\overrightarrow{SC}=\left( 2,2,-2 \right),\overrightarrow{SD}=\left( 0,2,-2 \right),\overrightarrow{AD}=\left( 0,2,0 \right),\overrightarrow{AM}=\left( 1,0,1 \right)$，

设平面$ADNM$的法向量为$\boldsymbol{n}=\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}} \right)$，

则$\begin{cases} \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AM}={{x}_{1}}+{{z}_{1}}=0, \\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{AD}=2{{y}_{1}}=0, \\ \end{cases}$令${{x}_{1}}=1$，可得$\boldsymbol{n}=\left( 1,0,-1 \right)$$.$

设平面$SCD$的法向量为$\boldsymbol{m}=\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}} \right)$，

则$\begin{cases} \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{SD}=2{{y}_{2}}-2{{z}_{2}}=0, \\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{SC}=2{{x}_{2}}+2{{y}_{2}}-2{{z}_{2}}=0, \\ \end{cases}$令${{y}_{2}}=1$，可得$\boldsymbol{m}=\left( 0,1,1 \right)$，

故平面$SCD$与平面$ADNM$夹角的余弦值$\cos\theta =\dfrac{\left| \boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n} \right|}{\left| {\boldsymbol{m}} \right|\left| {\boldsymbol{n}} \right|}=\dfrac{1}{2}$$.$