如图，在四棱锥${{B}_{1}}-AECD$中，底面$AECD$是菱形，$\angle DAE={{60}{^\circ }}$，$M$是$AE$的中点，$Q$是${{B}_{1}}D$的中点，且${{B}_{1}}M\perp $平面$AECD$，$AD=A{{B}_{1}}=2$．  

$(1)$求证：$AE\perp $平面${{B}_{1}}DM$；

$(2)$求三棱锥$D-QEC$的体积；

$(3)$求平面$QEC$与平面${{B}_{1}}AD$所成角的余弦值．

$(1)$证明见解析；$(2)$$\\dfrac{1}{2}$；$(3)$$\\dfrac{\\sqrt{65}}{65}$

$(1)$在菱形$AECD$中，连接$DE$，得等边$\triangle ADE$，

$\because M$是$AE$的中点，

$\therefore DM\perp AE$，

$\because {{B}_{1}}M\perp $平面$AECD$，$AE\subset $平面$AECD$，

$\therefore {{B}_{1}}M\perp AE$．

$\because {{B}_{1}}M\subset $平面${{B}_{1}}MD$，$DM\subset $平面${{B}_{1}}MD$，且${{B}_{1}}M\cap DM=M$，

$\therefore AE\perp $平面${{B}_{1}}DM$；

$(2)$ $\because \angle DAE={{60}{^\circ }}$，$AE\perp DM$，$AD=2$，

$\therefore DM=2\times \sin 60{}^\circ =\sqrt{3}$，

$\because AD=A{{B}_{1}}=2$，$AM=AM$，

$\therefore \triangle AM{{B}_{1}}\cong \triangle AMD$，则${{B}_{1}}M=DM=\sqrt{3}$，

由${{V}_{D-QEC}}={{V}_{Q-DEC}}=\dfrac{1}{2}\ {{V}_{{{B_1}}-DEC}}$．

又${{V}_{{{B_1}}-DEC}}=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 4=1$$.$

从而有${{V}_{D-QEC}}={{V}_{Q-DEC}}=\dfrac{1}{2}$；

$(3)$由$(1)$知$AE\perp {{B}_{1}}M$，$AE\perp DM$，故$AE$，${{B}_{1}}M$，$DM$两两垂直，

以$M$为坐标原点，$AE$，${{B}_{1}}M$，$DM$所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则${{B}_{1}}\left( 0,0,\sqrt{3} \right)$，$A\left( -1,0,0 \right)$，$D\left( 0,\sqrt{3},0 \right)$，则$\overrightarrow{AD}=\left( 1,\sqrt{3},0 \right)$，$\overrightarrow{{{B}_{1}}D}=\left( 0,\sqrt{3},-\sqrt{3} \right)$$.$

令平面${{B}_{1}}AD$的一个法向量为$\boldsymbol{m}=\left( x,y,z \right)$，则$\begin{cases} \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{AD}=x+\sqrt{3}y=0, \\ \boldsymbol{m}\cdot \overrightarrow{{{B}_{1}}D}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0, \\ \end{cases}$

令$y=1$，得$\boldsymbol{m}=\left( -\sqrt{3},1,1 \right)$，

又$Q\left( 0,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$，$E\left( 1,0,0 \right)$，$C\left( 2,\sqrt{3},0 \right)$，则$\overrightarrow{EQ}=\left( -1,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$，$\overrightarrow{EC}=\left( 1,\sqrt{3},0 \right)$．

令平面$EQC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=\left( a,b,c \right)$，则$\begin{cases} \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EQ}=0 \\ \boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{EC}=0 \\ \end{cases}$，即$\begin{cases} -a+\dfrac{\sqrt{3}}{2}b+\dfrac{\sqrt{3}}{2}c=0 \\ a+\sqrt{3}b=0 \\ \end{cases}$，

令$a=\sqrt{3}$，得$\boldsymbol{n}=\left( \sqrt{3},-1,3 \right)$$.$

有$\boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n}=-\sqrt{3}\times \sqrt{3}+1\times \left( -1 \right)+1\times 3=-3-1+3=-1$，则$\left| \boldsymbol{m}\cdot \boldsymbol{n} \right|=1$，而$\left| {\boldsymbol{m}} \right|=\sqrt{5}$，$\left| {\boldsymbol{n}} \right|=\sqrt{13}$，

设平面$QEC$与平面${{B}_{1}}AD$所成角为$\theta $，则$\cos\theta =\dfrac{1}{\sqrt{5}\times \sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{65}}{65}$．