一袋中有$6$个均匀硬币，其中有$n\left( 2\le n\le 5,n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right)$个普通硬币，普通硬币的一面为面值，另一面为花朵图案，如下图，其余$6-n$个硬币的两面均为面值$.$每次试验从袋中随机摸出两个硬币各掷一次，用事件$A$表示“两个硬币均是面值朝上”，用事件$B$表示“两个硬币均是花朵图案朝上”，又把两个硬币放回袋中，如此重复$6$次试验$.$

$(1)$若$n=3$，

①求$1$次试验中摸出普通硬币个数${X}$的分布列；

②求$6$次试验中事件$A$发生的次数$Y$的期望；

$(2)$设$6$次试验中事件$B$恰好发生$1$次的概率为$P$，当$n$取何值时，$P$最大？

$(1)$①分布列答案见解析；②$E\\left( Y \\right)=\\dfrac{33}{10}$$.$

$(2)$$n=5$

$(1)$解：当$n=3$时，

①由题意可知，随机变量${X}$的可能取值有$0$、$1$、$2$，

则$P\left( X=0 \right)=\dfrac{\text{C}_{\text{3}}^{\text{2}}}{\text{C}_{\text{6}}^{\text{2}}}=\dfrac{1}{5}$，$P\left( X=1 \right)=\dfrac{\text{C}_{\text{3}}^{\text{1}}\text{C}_{\text{3}}^{\text{1}}}{\text{C}_{\text{6}}^{2}}=\dfrac{3}{5}$，$P\left( X=2 \right)=\dfrac{\text{C}_{\text{3}}^{\text{2}}}{\text{C}_{\text{6}}^{\text{2}}}=\dfrac{1}{5}$，

$\therefore $ ，随机变量${X}$的分布列如下表所示：

②由题意可知，一次试验中事件$A$发生的概率为$P\left( A \right)=\dfrac{\text{C}_{\text{3}}^{\text{2}}+\text{\rm {C}}_{3}^{2}\cdot {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\text{C}_{\text{3}}^{\text{1}}\text{C}_{\text{3}}^{\text{1}}\cdot \dfrac{1}{2}}{\text{\rm {C}}_{6}^{2}}=\dfrac{11}{20}$，

$\therefore $ ，$Y\sim B\left( 6,\dfrac{11}{20} \right)$，则$E\left( Y \right)=6\times \dfrac{11}{20}=\dfrac{33}{10}$$.$

$(2)$解：一次试验中，事件$B$发生的概率为$P\left( B \right)=\dfrac{\text{\rm {C}}_{n}^{2}\cdot {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}{\text{\rm {C}}_{6}^{2}}=\dfrac{n\left( n-1 \right)}{120}\left( 2\le n\le 5,n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right)$，

$\therefore $ ，$6$次试验中事件$B$恰好发生$1$次的概率$P=\text{\rm {C}}_{6}^{1}\cdot \dfrac{n\left( n-1 \right)}{120}\cdot {{\left[ 1-\dfrac{n\left( n-1 \right)}{120} \right]}^{5}}\left( 2\le n\le 5,n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \right)$，

令$f\left( x \right)=x{{\left( 1-x \right)}^{5}}$，其中$0\lt x\lt 1$，则${f}'\left( x \right)={{\left( 1-x \right)}^{5}}-5x{{\left( 1-x \right)}^{4}}=\left( 1-6x \right){{\left( 1-x \right)}^{4}}$，

当$0\lt x\lt \dfrac{1}{6}$时，${f}'\left( x \right)\gt 0$，此时，函数$f\left( x \right)$单调递增，

当$\dfrac{1}{6}\lt x\lt 1$时，${f}'\left( x \right)\lt 0$，此时，函数$f\left( x \right)$单调递减，

$\therefore $ ，当$x=\dfrac{1}{6}$时，函数$f\left( x \right)$取最大值，

$\because 2\le n\le 5$且$n\in {{\mathbf{N}}^{*}}$时，$\dfrac{n\left( n-1 \right)}{120}\in \left\{ \dfrac{1}{60},\dfrac{1}{20},\dfrac{1}{10},\dfrac{1}{6} \right\}$，

故当$n=5$时，$P$取最大值$.$