已知圆柱内接于球，当圆柱的侧面积与球的表面积之比最大时，圆柱与球的体积之比为                 $.$

设圆柱的底面半径为$r$，球的半径为$R$，则圆柱的高为$2\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}$，

$\therefore $ 圆柱的侧面积${{S}_{1}}$与球的表面积${{S}_{2}}$之比$\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}=\dfrac{2\pi r\cdot 2\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}}{4\pi {{R}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{r}{R} \right)}^{2}}\left[ 1-{{\left( \dfrac{r}{R} \right)}^{2}} \right]}\le \dfrac{1}{2}\cdot \left[ {{\left( \dfrac{r}{R} \right)}^{2}}+1-{{\left( \dfrac{r}{R} \right)}^{2}} \right]=\dfrac{1}{2}$，

当且仅当$\dfrac{r}{R}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，故$\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$取最大值$\dfrac{1}{2}$时，圆柱与球的体积之比${\dfrac{V_{1}}{V_{2}}=\dfrac{3 \pi r^{2} \cdot 2 \sqrt{R^{2}-r^{2}}}{4 \pi R^{3}}=\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2} \sqrt{1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}}=\dfrac{3 \sqrt{2}}{8}}$$.$

故答案为：$\dfrac{3\sqrt{2}}{8}$$.$