已知函数$f\left( x \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{4}}\left( x+2 \right)$，$g\left( x \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}x$．

$(1)$当$f\left( x \right)\gt g\left( x \right)$时，求$x$的取值范围；

$(2)$若函数$y=g\left( mx \right)\cdot g\left( \dfrac{x}{2} \right)$在$\left[ 1,8 \right]$上的最大值为$6$，求实数$m$的值；

$(3)$通过软件作图发现，当$x\in \left( -1,0 \right)$时，$f\left( x \right)\lt x+1\lt g\left( x+2 \right)$．试利用上述结论证明：$1.1\lt {{2}^{0.2}}\lt 1.2$．

$(1)$$\\left( 0,2 \\right)$；

$(2)$$\\dfrac{1}{64}$或$1$；

$(3)$证明见解析

$(1)$由题意函数$f\left( x \right)$的定义域为$\left( -2,+\infty \right)$，$g\left( x \right)$的定义域为$\left( 0,+\infty \right)$，

由$f\left( x \right)\gt g\left( x \right)$得$\text{lo}{{\text{g}}_{4}}\left( x+2 \right)\gt \text{lo}{{\text{g}}_{2}}x=\text{lo}{{\text{g}}_{4}}{{x}^{2}}$，

故$x+2\gt {{x}^{2}}$，得$-1\lt x\lt 2$，

又$x\gt 0$，故$x$的取值范围为$\left( 0,2 \right)$；

$(2)$$y=g\left( mx \right)\cdot g\left( \dfrac{x}{2} \right)={{\log }_{2}}\left( mx \right)\cdot {{\log }_{2}}\dfrac{x}{2}=\left( {{\log }_{2}}m+{{\log }_{2}}x \right)\left( {{\log }_{2}}x-1 \right)$

设$t={{\log }_{2}}x$，因$x\in \left[ 1,8 \right]$，故$0\leqslant t\leqslant 3$，

则$y=\left( {{\log }_{2}}m+t \right)\left( t-1 \right)={{t}^{2}}+\left( {{\log }_{2}}m-1 \right)t-{{\log }_{2}}m$，

当$-\dfrac{{{\log }_{2}}m-1}{2}\lt \dfrac{3}{2}$，即$m\gt \dfrac{1}{4}$时，当$t=3$时，取得最大值$6$，故$\left( {{\log }_{2}}m+3 \right)\left( 3-1 \right)=6$，得$m=1$，

当$-\dfrac{{{\log }_{2}}m-1}{2}\geqslant \dfrac{3}{2}$即$0\lt m\leqslant \dfrac{1}{4}$时，当$t=0$时，取得最大值$6$，故$\left( {{\log }_{2}}m+0 \right)\left( 0-1 \right)=6$，得$m=\dfrac{1}{64}$，

故实数$m$的值为$\dfrac{1}{64}$或$1$；

$(3)$$f\left( x \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{4}}\left( x+2 \right)$，$g\left( x \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{2}}x$，

当$x=-0.9$时，由$f\left( x \right)\lt x+1$可得$\text{lo}{{\text{g}}_{4}}1.1\lt 0.1$，故$1.1\lt {{4}^{0.1}}={{2}^{0.2}}$，

当$x=-0.8$时，由$x+1\lt g\left( x+2 \right)$可得$0.2\lt \text{lo}{{\text{g}}_{2}}1.2$，故${{2}^{0.2}}\lt 1.2$，

故$1.1\lt {{2}^{0.2}}\lt 1.2$．