已知定义在区间$(0,+\infty)$上的函数${{f}({x})}$满足$f(xy)=f(x)+f(y)$，且当$x\gt 1$时，$f(x)\gt 0$．若$f(3)=1$．

$(1)$判断并证明${{f}({x})}$的单调性；

$(2)$解关于$x$的不等式$f(3 x+6)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)\gt 2$．

$(1)$在$(0,+\\infty)$上为增函数，证明见解析；

$(2)$$(0,1)$

$(1)$设${{x}_{1}}\gt {{x}_{2}}\gt 0$，则$\dfrac{x_{1}}{x_{2}}\gt 1$，

$ \because f(x y)=f(x)+f(y)$

$\therefore f\left( x_{1}\right)-f\left( x_{2}\right)=f\left( \dfrac{x_{1}}{x_{2}}\cdot x_{2}\right)-f\left( x_{2}\right)=f\left( \dfrac{x_{1}}{x_{2}}\right)+f\left( x_{2}\right)-f\left( x_{2}\right)=f\left( \dfrac{x_{1}}{x_{2}}\right)$，

又当$x\gt 1$时，$f(x)\gt 0$，

$\therefore f\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)\gt 0$，

$\therefore f\left( {{x}_{1}} \right)\gt f\left( {{x}_{2}} \right)$，

$\therefore f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数；

$(2)$在$f\left( {{x}_{1}} \right)-f\left( {{x}_{2}} \right)=f\left( \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)$中，令$x_{1}=9$，$ x_{2}=3$，则$f(9)-f(3)=f(3)$．

$\because f(3)=1$，

$ \therefore f(9)=2$，不等式$f(3x+6)+f\left( \dfrac{1}{x} \right)\gt 2$，可转化为$f(3x+6)+f\left( \dfrac{1}{x} \right)\gt f(9)$，

$\therefore f\left( 3x+6 \right)\gt f(9)-f\left(\dfrac{1}{x}\right)$，即$f(3x+6)\gt f(9x)$，

由函数${{f}({x})}$在$(0,+\infty)$上为增函数，可得$3 x+6\gt 9 x\gt 0$．

$\therefore 0\lt x\lt 1$，原不等式解集为$(0,1)$．