设函数$y=ax^{2}+(b-2)x+3$．

$(1)$若不等式$y\gt 0$的解集为$\{x\vert -1\lt x\lt 3\}$，求$a$，$b$的值；

$(2)$若$x=1$时，$y=2$，$a\gt 0$，$b\gt -1$，求$\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b+1}$的最小值；

$(3)$若$b=-a$，求不等式$y\leqslant 1$的解集．

$(1)$$a=-1$，$b=4$；

$(2)$$\\dfrac{9}{2}$；

$(3)$答案见解析

$(1)$$\because $不等式$y\gt 0$的解集为$\{x\vert -1\lt x\lt 3\}$，

$\therefore -1$和$3$是方程$ax^{2}+(b-2)x+3=$的两个根，且$a\lt 0$，

由韦达定理可得$\begin{cases}{-1+3=-\dfrac{b-2}{a}}\\ {-1\times 3=\dfrac{3}{a}}\end{cases}$，

解得$\begin{cases}{a=-1}\\ {b=4}\end{cases}$，

即$a=-1$，$b=4$；

$(2)$$\because x=1$时，$y=2$，

$\therefore a+b-2+3=2$，即$a+b=1$，

$\therefore a+(b+1)=2$，

又$\because a\gt 0$，$b\gt -1$，

$\therefore b+1\gt 0$，

$\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b+1}=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b+1}\right)[a+(b+1)]=\dfrac{1}{2}\left(5+\dfrac{b+1}{a}+\dfrac{4a}{b+1}\right)\geqslant \dfrac{1}{2}\times \left(5+2\sqrt{\dfrac{b+1}{a}\cdot \dfrac{4a}{b+1}}\right)=\dfrac{9}{2}$，

当且仅当$\dfrac{b+1}{a}=\dfrac{4a}{b+1}$，即$a=\dfrac{2}{3}$，$b=\dfrac{1}{3}$时，等号成立，

$\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b+1}$的最小值$\dfrac{9}{2}$；

$(3)$当$b=-a$时，不等式$f(x)\leqslant 1$即$ax^{2}-(a+2)x+2\leqslant 0$，即$(ax-2)(x-1)\leqslant 0$，

①当$a=0$时，$-2x+2\leqslant 0$，解得$x\geqslant 1$，

②当$a\lt 0$时，不等式可化为$(x-1)\left(x-\dfrac{2}{a}\right)\geqslant 0$，

$\therefore x\leqslant \dfrac{2}{a}$或$x\geqslant 1$，

③当$a\gt 0$时，不等式化为$(x-1)\left(x-\dfrac{2}{a}\right)\leqslant 0$，

若$0\lt a\lt 2$，则$1\leqslant x\leqslant \dfrac{2}{a}$，

若$a=2$，则$x=1$，

若$a\gt 2$，则$\dfrac{2}{a}\leqslant x\leqslant 1$，

综上所述，当$a=0$时，解集为$\{x\vert x\geqslant 1\}$；当$a\lt 0$时，解集为$\{x\vert x\leqslant \dfrac{2}{a}$或$x\geqslant 1\}$；当$0\lt a\lt 2$时，解集为$\left\{x\vert 1\leqslant x\leqslant \dfrac{2}{a}\right\}$；当$a=2$时，解集为$\{x\vert x=1\}$；当$a\gt 2$时，解集为$\left\{x\vert \dfrac{2}{a}\leqslant x\leqslant 1\right\}$．