如图，在三棱锥$P-ABC$中，$\triangle CAP$和$\triangle ABC$都是等腰直角三角形，且$\angle ACP=\angle BAC=90{}^\circ $，$AC=2$，二面角$P-AC-B$的大小为$\dfrac{\pi }{3}$$.$

$(1)$求证：直线$AB$与直线$PC$不垂直；

$(2)$求直线$PB$与平面$ABC$所成角的正弦值$.$

$(1)$证明见解析；

$(2)$$\\dfrac{\\sqrt{6}}{4}$

$(1)$

$\because \triangle ABC$是等腰直角三角形，且$\angle BAC={{90}^{{}^\circ }}$,$AB=AC=2$，

$\therefore $ 以$A$为原点，分别以$AB$，$AC$所在直线为$x$，$y$轴，垂直平面$ABC$的直线为$z$轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

$A\left( 0,0,0 \right),B\left( 2,0,0 \right)$,$C\left( 0,2,0 \right)$

过点$C$作$AB$的平行线，在平行先上取一点$E$，且$CE=AB$，连接$PE$,如图所示：

$\because \angle ACP=\angle BAC={{90}^{{}^\circ }}$,

$\therefore \angle PCE$即为二面角$P-AC-B$的平面角，

$\therefore \angle PCE=\dfrac{\pi}{3}$，

$\because \triangle CAP$是等腰直角三角形，且$AC=2$，

$\therefore PC=2$，

$\therefore P$到平面$ABC$的距离为$\sqrt{3}$，即$P\left( 1,2,\sqrt{3} \right)$，

$\therefore \overrightarrow{AB}=\left( 2,0,0 \right)$，$\overrightarrow{CP}=\left( 1,0,\sqrt{3} \right)$，

$\because \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CP}=2\ne 0$，

$\therefore \overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CP}$不垂直，

即直线$AB$与直线$PC$不垂直$.$

$(2)$由$(1)$可得，$\overrightarrow{BP}=\left( -1,2,\sqrt{3} \right)$，设平面$ABC$的法向量为$\boldsymbol{n}=\left( 0,0,1 \right)$,

记直线$PB$与平面$ABC$所成角为$\theta $，$\theta \in \left( 0,\dfrac{\pi}{2} \right)$,

$\therefore \sin \theta =\left| \cos \left\langle \overrightarrow{BF}\cdot \boldsymbol{n} \right\rangle \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{BF}\cdot \boldsymbol{n} \right|}{\left| \overrightarrow{BF} \right|\left| {\boldsymbol{n}} \right|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}$,

$\therefore $ 直线$PB$与平面$ABC$所成角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{6}}{4}$$.$