| 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题题目答案及解析

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选择性必修一

第一章空间向量与立体几何

1.4 空间向量的应用

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题

平面$\alpha $经过点$B(1,0,0)$，且$\alpha $的法向量$\boldsymbol{n}=\left( 1,1,1 \right)$，则$P(1,2,3)$到平面$\alpha $的距离为．

[["$\\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}$"]]

$\because $ 平面$\alpha $经过点$B(1,0,0)$，

$\therefore \overrightarrow{BP}=(0,2,3)$，

又平面$\alpha $的法向量$\boldsymbol{n}=\left( 1,1,1 \right)$，

$\therefore $ 点$P(1,2,3)$到平面$\alpha $的距离$d=\dfrac{\left| \overrightarrow{BP}\cdot \boldsymbol{n} \right|}{\left| \boldsymbol{n} \right|}=\dfrac{\left| 0\times 1+2\times 1+3\times 1 \right|}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$$.$

故答案为：$\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$

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