若小球恰好对锥面无压力，求平台转动的角速度$\omega_{0}$；

$5\\;\\rm rad/s$；

小球恰好对锥面无压力，则小球只受到重力和拉力，其做圆周运动的向心力由重力与拉力的合力提供，由牛顿第二定律有$mg\tan \theta=m\omega_{0}^{2}l\sin \theta$

解得$\omega_{0}=5\;\rm rad/s$

若平台的角速度$\omega_{1}=2\;\rm rad/s$，求小球受到的拉力和支持力；

$8.72\\;\\rm N$，$5.04\\;\\rm N$；

由于$\omega_{1}=2\;{\rm rad/s}\lt \omega_{0}$

则此时小球未离开锥面，设小球受到的支持力为$F_{N}$，细线张力为$F_{1}$，沿竖直方向有$F_{1}\cos\theta+F_{N}\sin\theta=mg$

沿水平方向有$F_{1}\sin\theta-F_{N}\cos\theta=m\omega_{1}^{2}l\sin\theta$

代入数据解得$F_{1}=8.72\;\rm N$，$F_{N}=5.04\;\rm N$

若平台的角速度$\omega_{2}= 2\sqrt{10}\ \text{rad/s}$，小球突然从绳上脱落，求小球的落地点到圆锥底面圆心的距离$s$。

$\\dfrac{\\sqrt{21}}{4}\\ \\text{m}$

由于$\omega_{2}=2\sqrt{10}\ \text{rad/s} \gt \omega_{0}$

则此时小球离开锥面，设细线与轴线的夹角为$\alpha$由牛顿第二定律有$mg\tan \alpha=m\omega_{2}^{2}l\sin \alpha$

解得$\alpha=60^\circ $

小球脱落瞬间的线速度$v=\omega_{2}l\sin\alpha$

小球到地面的高度$h'=h-l\cos\alpha$

设小球落到平台所用时间为$t$，则$h'=\dfrac{1}{2}gt^{2}$

小球平抛的水平位移$x=vt$

小球的落地点到圆锥底面圆心的距离$s=\sqrt{\left( l\sin\alpha \right)^{2}+x^{2}}$

代入数据解得$s=\dfrac{\sqrt{21}}{4}\ \text{m}$