一位乘客在$1$楼进入电梯。电梯从$1$楼上升至$8$楼用时$14$秒，停靠$10$秒后继续以相同的运行模式上升至$15$楼。已知每层楼高$3$米，求电梯从$1$楼到$15$楼的全程平均速度；（结果保留两位有效数字）

$\\overline{v}= 1.1\\;\\rm{m}/{s}$；

依题意，电梯从$1$楼上升至$8$楼用时$14$秒，停靠$10$秒后继续以相同的运行模式上升至$15$楼。则从$8$楼上升至$15$楼用时也是$14$秒，电梯从$1$楼到$15$楼的时间为$t=14\;\rm s+10\;\rm s+14\;\rm s=38\;\rm s$

每层楼高$3$米，电梯从$1$楼到$15$楼的位移大小为$x=3 \times (15 − 1)\;\rm m=42\;\rm m$

全程平均速度为$\overline{v}=\dfrac{x}{t}=1.1\;\rm {m}/{s}$；

电梯从底层向上运行至顶层，其加速度随时间的变化关系如图所示。

①（作图）以向上运动为正方向，定性描绘出电梯从底层向上运行至顶层过程中速度随时间变化的$v$$—$$t$图线                ；

②电梯从底层静止出发，向上运行至顶层，并再次停下。其加速度随时间的变化关系如图所示。已知电梯的初速度和最终速度均为零。请判断加速度一时间图像中，时间轴上方面积的大小                下方面积的大小关系（选填$\rm A$．$\gt $   $\rm B$．$=$   $\rm C$．$\lt $），其面积的物理意义是                ；

③电梯轿厢天花板上有一颗松动的螺丝，电梯静止时螺丝未脱落。当电梯上升时，螺丝在某一阶段发生脱落。请分析说明螺丝脱落时，电梯可能在做什么运动                ？

④设电梯轿厢天花板到轿厢地板的高度为$h$，螺丝脱落后电梯加速度始终为$a$，求螺丝掉落至轿厢地板所需时间                ；（重力加速度大小为$g$）

见解析 $B$ 电梯的速度变化 加速上升 $\\sqrt{\\dfrac{2h}{g+a}}$

①根据$v-t$图像的斜率表示加速度，结合题目中的$a-t$图像，以向上运动为正方向，定性描绘出电梯从底层向上运行至顶层过程中速度随时间变化的$v-t$图线如图所示。

②由$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$，解得$\Delta v=a ⋅ \Delta t$，可知$a-t$图像中图线与横轴所围面积表示电梯的速度变化，依题意，电梯的初速度和最终速度均为零，所以$a-t$图像中，时间轴上方面积的大小等于下方面积的大小关系；

③螺丝松动后在静止时未脱落，可以认为此时螺丝受到的最大静摩擦力大于其重力。电梯上升开始阶段，由于螺丝具有向上的加速度，根据牛顿第二定律有$f_{\rm\max}= mg+ma$

即螺丝处在超重状态，电梯加速上升时，只要加速度足够大，螺丝将会脱落；

④设螺丝脱落瞬时为时间起点，并以该时刻电梯地板位置为坐标原点向上作$y$轴。螺丝脱落后做竖直上抛运动，有$y_{1}=h+vt-\dfrac{1}{2}gt^{2}$

电梯地板做匀加速直线运动，有$y_{2}=vt+\dfrac{1}{2}at^{2}$

螺丝落到地板即$y_{1}=y_{2}$

解得$t=\sqrt{\dfrac{2h}{g+a}}$；

科幻大片中设想的太空电梯结构如图所示。假设有一太空电梯，连接地球赤道上的固定基地与位于地球同步卫星轨道的空间站$A$。

①设乘客在太空电梯内与电梯保持相对静止，乘客离地心距离为$r$，则乘客$(\qquad)$

$\rm A$．一定处于超重状态

$\rm B$．一定处于完全失重状态

$\rm C$．绕着地球运动的线速度大小随着$r$的增大而增大

$\rm D$．绕着地球运动的线速度大小随着$r$的增大而减小

$\rm E$．在$r$等于地球半径时，乘客的线速度大小等于第一宇宙速度

$\rm F$．在$r$等于地球半径时，乘客的线速度大小小于第一宇宙速度

②若电梯外部某一物体脱落后，物体相对于地球可能做$(\qquad)$

$\rm A$．匀速圆周运动      $\rm B$．离心运动      $\rm C$．向心运动

③如图所示，另有一颗卫星$B$也绕地球做匀速圆周运动且与同步空间站$A$的运行方向相同，此时二者距离最近。经过时间$t$后，$A$、$B$第一次相距最远。已知地球自转周期为$T$（其中$t \gt \dfrac{T}{2}$）。求卫星$B$绕地球做圆周运动的周期$T_{B}$                 。

①$\rm AB$．对空间站$A$，有$\dfrac{GMm}{r^{2}}= m\dfrac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，依题意，乘客所在位置的运行半径小于同步轨道上空间站$A$的半径，由$F_{万}= \dfrac{GMm}{r^{2}}$可知乘客所受万有引力大于做圆周运动的向心力，所以乘客一定处于失重状态，而不是完全失重状态，故$\rm AB$错误；

$\rm CD$．根据$v=\omega r$可知绕着地球运动的线速度大小随着$r$的增大而增大，故$\rm C$正确；$\rm D$错误；

$\rm EF$．根据$\rm CD$选项分析可知，在$r$等于地球半径时，乘客的线速度大小小于空间站$A$的线速度，第一宇宙速度是最大的环绕速度，大于同步轨道上空间站$A$的线速度，所以在$r$等于地球半径时，乘客的线速度大小小于第一宇宙速度，故$\rm E$错误；$\rm F$正确；

故选：$\rm CF$；

②根据第一（$1$）分析可知，电梯外部某一物体所受万有引力大于其做匀速圆周运动的向心力，则脱落后，物体相对于地球可能做向心运动；

故选：$\rm C$；

③当$A$、$B$第一次相距最远时，有$\dfrac{2\pi}{T_{{A}}^{2}}t-\dfrac{2\pi}{T_{{B}}^{2}}t=\pi$，其中$T_{A}=T$，解得$T_{{B}}=\dfrac{2Tt}{2t-T}$。