如图所示，$MN$、$PQ$为两根足够长的光滑、平行金属导轨，它们之间的距离为$L$，导轨平面与水平面之间的夹角$\theta=30^\circ $，$N$、$Q$间接有阻值为$R$的定值电阻，磁感应强度为$B$的匀强磁场垂直$MNQP$平面向上，长度略大于$L$、质量为$m$的金属棒$cd$垂直放置于导轨上，其接入电路的电阻为$r=R$。现将$cd$从导轨上的某一位置由静止释放，经过时间$t_{0}$达到最大速度。整个过程金属棒与金属导轨接触良好，重力加速度为$g$，除金属棒电阻$r$和电阻$R$外，其余电阻不计。金属棒由静止释放至达到最大速度的过程中，下列说法正确的是$(\qquad)$

经过$R$的电流由$N$到$Q$

金属棒$cd$的速率随时间线性增大

金属棒下滑的距离为$\\dfrac{mgt_{0}B^{2}L^{2}R-2m^{2}gR^{2}}{2B^{4}L^{4}}$

$R$上产生的热量为$\\dfrac{m^{2}g^{2}t_{0}B^{2}L^{2}R-3m^{3}g^{2}R^{2}}{4B^{4}L^{4}}$

$\rm A$．由右手定则，可知金属棒中电流由$d$到$c$，则经过$R$的电流由$N$到$Q$，故$\rm A$正确；

$\rm B$．金属棒下滑过程中，还要受到安培力，安培力随速度增大而增大，则金属棒$cd$做加速度逐渐减小的变加速直线运动，速率随时间不是线性增大，故$\rm B$错误；

$\rm C$．感应电流$I=\dfrac{BLv}{R+r}$，则安培力$F_{安}=BIL=\dfrac{B^{2}L^{2}v}{R+r}$，且$r=R$

下滑速度最大时，金属棒受力平衡，有$mg\sin\theta=\dfrac{B^{2}L^{2}v_{\text{m}}}{R+r}$

得$v_{\text{m}}=\dfrac{mgR}{B^{2}L^{2}}$

由动量定理，有$mg\sin\theta \cdot t_{0}-\dfrac{B^{2}L^{2}\overline{v}}{R+r} \cdot t_{0}=mv_{\text{m}}-0$

且下滑的距离$x=\overline{v} \cdot t_{0}$

联立解得$x=\dfrac{mgt_{0}B^{2}L^{2}R-2m^{2}gR^{2}}{B^{4}L^{4}}$，故$\rm C$错误；

$\rm D$．由功能关系，有$mgx\sin\theta=Q+\dfrac{1}{2}m{v_{\text{m}}}^{2}$

$R$上产生的热量为$Q_{R}=\dfrac{R}{R+r}Q=\dfrac{1}{2}Q$

联立解得$Q_{R}=\dfrac{m^{2}g^{2}t_{0}B^{2}L^{2}R-3m^{3}g^{2}R^{2}}{4B^{4}L^{4}}$，故$\rm D$正确。

故选：$\rm AD$。