求在椭圆轨道半短轴顶点$B$的电势；

$\\varphi_{B}= \\dfrac{kQ}{a}$

由几何关系可知，椭圆上任何一点到两焦点间距离之和为$2a$，故顶点$B$距源电荷的距离为$r=a$

根据电势计算公式$\varphi=\dfrac{kQ}{r}$可得在椭圆轨道半短轴顶点$B$的电势为$\varphi_{B}=\dfrac{kQ}{a}$

求带电粒子从$A$到$B$的运动过程中，电场力对带电粒子做的功；

$- kQq\\left(\\dfrac{2}{2a-c}- \\dfrac{1}{a}\\right)$

同理可知，在椭圆轨道半长轴顶点$A$的电势为$\varphi_{A}=\dfrac{kQ}{a-\dfrac{c}{2}}= \dfrac{2kQ}{2a-c}$

根据电场力做功与电势能的关系可知，带电粒子从$A$到$B$的运动过程中，电场力对带电粒子做的功为$W_{AB}=- q(\varphi_{A}-\varphi_{B})=- kQq\left(\dfrac{2}{2a-c}-\dfrac{1}{a}\right)$

用推理论证带电粒子动能与电势能之和是否守恒；若守恒，求其动能与电势能之和；若不守恒，说明理由。

守恒，$- \\dfrac{kQq}{2a}$

设带电粒子的质量为$m$，假设带电粒子动能与电势能之和守恒，则满足$\dfrac{1}{2}mv^{2}+(-q)\dfrac{kQ}{r}= C$（定值）

则$v^{2}=\dfrac{2kQq}{m} \cdot \dfrac{1}{r}+\dfrac{2C}{m}$

根据图像可知$v^{2}-\dfrac{1}{r}$关系为一条倾斜直线，故假设成立，将图像中$\left(\dfrac{1}{2a},0\right)$代入关系式可得其动能与电势能之和为$C=- \dfrac{kQq}{2a}$