若在$B$与$C$碰撞前$A$与$B$已相对静止，则$x$至少为多少；

$2\\;\\rm m$

$A$在$B$上做匀减速运动，$B$做匀加速运动，设$A$、$B$相对静止时，共同速度为$v_{1}$，取向右为正方向，根据动量守恒定律得

$m_{A}v_{0}=(m_{A}+m_{B})v_{1}$

$B$运动的加速度大小为

$a_{B}=\mu g=0.1\times 10\;\rm m/s^{2}=1\;\rm m/s^{2}$

$B$运动的距离为$x_{B}= \dfrac{v_{1}^{2}}{2a_{B}}=\dfrac{2^{2}}{2 \times 1}\;\rm m=2\;m$

因此，要使$B$与$C$碰撞前$A$与$B$已相对静止，则应$x\geqslant 2\;\rm m$。

若要使$B$与$C$只发生一次碰撞，则$x$应满足什么条件；

$x\\geqslant 1.125\\;\\rm m$；

$B$与$C$碰撞时，$A$向右的动量小于等于$B$向右的动量，则$B$与$C$会发生一次碰撞，取向右为正方向，当$A$向右的动量等于$B$向右动量时

$m_{A}v_{A}=m_{B}v_{B}$

根据动量守恒定律得$m_{A}v_{0}=m_{A}v_{A}+m_{B}v_{B}$

$B$运动的距离为$x'_{B}= \dfrac{v_{B}^{2}}{2a_{B}}$

联立解得：$x_{B}^\prime=1.125\;\rm m$

因此，若要使$B$与$C$只发生一次碰撞，则应$x\geqslant 1.125m$。

若$x$$= \dfrac{1}{8}$$m$，则$B$与$C$会碰撞几次。

$3$次

若$x= \dfrac{1}{8}m$，$B$每次与$C$碰撞前的速度大小为

$v= \sqrt{2a_{B}x}=\sqrt{2 \times 1 \times \dfrac{1}{8}}\;\rm m/s= \dfrac{1}{2}\;m/s$

相邻两次碰撞的时间间隔为

$\Delta t= \dfrac{2v}{a_{B}}=\dfrac{2 \times \dfrac{1}{2}}{1}\;\rm s=1\;\rm s$

设能碰撞$n$次，则第$n$次碰撞时，运动的时间为

$t= \dfrac{1}{2}\Delta t+(n-1)\Delta t =(n-0.5)\;\rm s$

取向右为正方向，最后一次碰撞满足临界条件

$m_{A}v_{A}^\prime=m_{B}v$

根据运动学公式

$v_{A}^\prime=v_{0}-a_{A}(n-0.5)$

$a_{A}=\mu g$

联立解得：$n=3$。