木板的长度$L$；

$\\dfrac{v_{0}^{2}}{4\\mu g}$

物块$a$滑上木板$c$后与物块$b$碰撞前，物块$b$与木板$c$均静止，设两物块在木板上滑动时的加速度大小均为$a_{1}$，解除锁定后，木板加速过程中的加速度大小为$a_{2}$，物块$a$与物块$b$碰撞前物块$a$的速度大小为$v$，碰撞后物块$a$、$b$的速度分别为$v_{a}$，$v_{b}$，

则有$a_{1}=\mu g$，

$2\mu mg-\mu mg-\dfrac{\mu}{6} \times 4mg=ma_{2}$，

$mv=mv_{a}+2mv_{b}$，$\dfrac{1}{2}mv^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{a}^{2}+\dfrac{1}{2} \times 2mv_{b}^{2}$

解得$a_{2}=\dfrac{\mu g}{3}$，$v_{a}=- \dfrac{v}{3}$，$v_{b}=\dfrac{2v}{3}$

$v-t$图像如图所示，

根据图中关系有$v_{0}^{2}-v^{2}=2a_{1}\dfrac{L}{2}$，$\left(\dfrac{2v}{3}\right)^{2}=2(a_{1}+a_{2})\dfrac{L}{2}$

解得：$L=\dfrac{v_{0}^{2}}{4\mu g}$，$v= \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_{0}$

木板的最大速度$v_{m}$；

$\\dfrac{\\sqrt{3}v_{0}}{12}$

设木板的加速时间为$t$，则有$v_{b}=(a_{1}+a_{2})t$，$v_{m}=a_{2}t$

解得：$v_{m}=\dfrac{\sqrt{3}v_{0}}{12}$；

物块$a$与木板因摩擦产生的热量$Q$。

$\\dfrac{3mv_{0}^{2}}{16}$

设物块$a$与物块$b$碰撞后，物块$a$相对木板向左运动的距离为$l$，则有$l=\dfrac{1}{2}(a_{1}-a_{2})t^{2}$

$Q=\mu mg\left(\dfrac{L}{2}+l\right)$

解得：$Q=\dfrac{3mv_{0}^{2}}{16}$