如果滑块刚好能通过半圆单轨道$ABC$，求释放时弹簧的弹性势能。

$1.5\\;\\rm J$

滑块刚好通过半圆单轨道$ABC$，$mg=m\dfrac{v_{C}^{2}}{R_{1}}$

由能量守恒得$E_{p0}=2mgR_{1}+\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}$

可解得$E_{p0}=1.5\;\rm J$

如果弹簧以$E_{p}=2\;\rm J$的弹性势能将滑块弹出，请根据计算后判断滑块最终停在何处？

$0.1\\;\\rm m$；

$E_{p}=2\;{\rm J}\gt E_{p0}$

所以滑块在$C$处不会掉下来，由能量守恒得$E_{p}=2mg(R_{1}+R_{2})+\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}$

滑块到达$F$点的速度$v_{1}=2\sqrt{3}\;\rm m/s$

$m$与$M$达到共速时，以$v_{1}$的方向为正方向

$mv_{1}=(M+m)v_{共1}\mu mgs=\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}-\dfrac{1}{2}(M+m)v_{共1}^{2}$

解得$v_{共1}=\sqrt{3}\;\rm m/s$，$s=0.6\;\rm m$

摆渡车与右端碰后停止，滑块继续向前滑行的距离$s'=\dfrac{v_{共1}^{2}}{2\mu g}=\dfrac{(\sqrt{3})^{2}}{2 \times 5}\;\rm m=0.3\;m$

故滑块所停位置在摆渡车上离$I$点左侧距离

$L'=(1-0.6-0.3)\;\rm m=0.1\;m$

想要游戏成功，滑块最终能成功地停在目标区$JK$段，则滑块发射时弹簧的弹性势能应满足什么要求？

$2.3\\;{\\rm J}\\leqslant E_{p}\\leqslant 2.4\\;\\rm J$

将滑块弹出到平台上$E_{p}=2mg(R_{1}+R_{2})+\dfrac{1}{2}mv^{2}$

$m$与$M$达到共速，以$v$的方向为正方向

$mv=(M+m)v_{共2}E_{p}=2mg(R_{1}+R_{2})+\dfrac{1}{2}Mv_{共2}^{2}+\mu mgs$

要使滑块停在目标区$L_{1}+L_{2}\leqslant s\leqslant L_{1}+L_{2}+L_{3}$

弹簧的弹性势能$2.3\;{\rm J}\leqslant E_{p}\leqslant 2.8\;\rm J$

滑块与摆渡车达到共速时，滑块刚好到摆渡车的右侧$\mu mgL_{1}=\dfrac{1}{2}mv^{2}-\dfrac{1}{2}(M+m)v_{共2}^{2}$

解得$v=\sqrt{20}\;\rm m/s$，$E_{p}=2.4\;\rm J$

要想游戏成功，滑块发射时弹簧的弹性势能应满足$2.3\;{\rm J}\leqslant E_{p}\leqslant 2.4\;\rm J$