小物块做平抛运动到$B$点时速度大小、$AB$间的高度差$h$；

$v_{B}=4\\;\\rm m/s$，$h=0.6\\;\\rm m$

小物块离开弹簧过程，由能量守恒定律得$Ep=\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}$

小物块离开弹簧后刚滑到$A$点的速度$v_{0}=2\;\rm m/s$

小物块离开$A$点后做平抛运动，恰好能无碰撞地落在右下方的光滑斜面的顶端$B$点，即在$B$点的速度方向沿斜面，则$\dfrac{v_{0}}{v_{B}}=\cos\theta$

解得$v_{B}=4\;\rm m/s$

又$\dfrac{v_{0}}{v_{y}}=\tan\theta$，$v_{y}^{2}=2gh$

解得$h=0.6\;\rm m$

若小物块恰好能到达半圆形轨道的最高点，则$DE$段的距离$s$为多少；

$2.4\\;\\rm m$

小物块由$B$运动到$C$，由动能定理$mgL\sin\theta=\dfrac{1}{2}mv_{C}^{2}- \dfrac{1}{2}mv_{B}^{2}$

解得$v_{C}=6\;\rm m/s$

小物块在传送带上运动到$D$点时，有$v_{D}^{2}-v_{C}^{2}=2\mu gx$

解得$v_{D}=7\;\rm m/s \lt 8\;\rm m/s$

小物块运动到$E$点时，有$v_{E}^{2}-v_{D}^{2}=-2\mu gs$

小物块恰好能到达半圆形轨道的最高点，设最高点速度为$v_{m}$，有$mg=m\dfrac{v_{\text{m}}^{2}}{R}$

由动能定理可得$\dfrac{1}{2}mv_{\text{m}}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{E}^{2}=- 2mgR$

解得$S=2.4\;\rm m$

若保证$DE$间的距离为第（$2$）问所求结果不变，且将最右侧半圆形轨道半径调整为$1.25\;\rm m$，则当传送带顺时针转动的速度大小可变时，试讨论小物块最终停止时距离传送带右端$D$点的距离$l$与传送带运行的速度$v$之间的关系。

①$7\\;{\\rm m/s}\\leqslant v$，$l=0.1m$；②$0 \\leqslant v \\leqslant \\sqrt{23}\\;\\rm m/s$，$l=2.3\\;\\rm m$；③$\\sqrt{48} \\leqslant v \\leqslant 7\\left( {\\text{m}}/{\\text{s}} \\right)$，$l =\\dfrac{v^{2}}{10}-2\\;\\rm s$；④$\\sqrt{24} \\leqslant v \\lt \\sqrt{48}\\left( {\\text{m}}/{\\text{s}} \\right)$，$l=2\\;{\\rm s}- \\dfrac{v^{2}}{10}$；⑤$\\sqrt{23} \\leqslant v \\lt \\sqrt{24}\\left( {\\text{m}}/{\\text{s}} \\right)$，$l=\\dfrac{v^{2}}{10}$

①将最右侧半圆形轨道半径调整为$1.25\;\rm m$，小物块无法到达最高点，当传送带速度$v\geqslant 7\;\rm m/s$，小物块在传送带上全程加速，到达$D$点的速度始终为$7\;\rm m/s$，由动能定理得

理可得$- mgh_{1}-\mu mgs=0-\dfrac{1}{2}mv_{D}^{2}$

解得$h_{1}=1.25\;\rm m$，小物块最高恰好上到圆心等高处，然后原路返回，再滑上传送带上不损失能量，根据能量守恒$\mu mgs_{1}=\dfrac{1}{2}mv_{D}^{2}$

解得$S_{1}=4.9\;\rm m$

解得$l=2\;\rm s-s_{1}=0.1\;\rm m$

②小物块在传送带上全程减速，有$v_{D}'^{2}-v_{C}^{2}=-2\mu gx$

解得$v_{D}=\sqrt{23}\;\rm \text{m}/\text{s}$

当传送带速度$0 \leqslant v \leqslant \sqrt{23}\;\rm \text{m}/\text{s}$

小物块到达$D$点的速度为$\sqrt{23}\;\rm \text{m/s}$，由动能定理可得$- \mu mgS_{2}=0-\dfrac{1}{2}mv_{D}^{2}$

解得$S_{2}=2.3\;\rm m\lt2.4\;\rm m$，$l=2.3\;\rm m$

③当传送带速度$\sqrt{23} \leqslant v \leqslant 7\left( {\text{m}}/{\text{s}} \right)$

小物块到达$D$点的速度为传送带速度$v$，由动能定理可得$- \mu mgs_{3}=0-\dfrac{1}{2}mv^{2}$

$s_{3}=\dfrac{v^{2}}{2\mu g}=\dfrac{v^{2}}{10}$

$\sqrt{48} \leqslant v \leqslant 7\left({\text{m}}/{\text{s}} \right)$，$l=\dfrac{v^{2}}{10}-2\;\rm s$

$\sqrt{24} \leqslant v \lt \sqrt{48}\left({\text{m}}/{\text{s}} \right)$，$l=2\;\rm s-\dfrac{v^{2}}{10}$

$\sqrt{23} \leqslant v \lt \sqrt{24}\left({\text{m}}/{\text{s}} \right)$，$l=\dfrac{v^{2}}{10}$